線積分は、dsで積分するということですよね？ Fds＝仕事 Fは、力です。 sは、距離です。線積分（経路積分）は、微小距離を足していくということになるので、もしも 力が、距離によって変わらなければ、積分表記する必要はありません。 ところが, 静電気力の場合には線積分がその経路によらず, 始点と終点のみに依存することを示すことができる [1]. これが保存力による仕事、つまり渦なしのベクトルである保存力の線積分は経路によらないことに対応します。 よって保存力に限らず、3次元ベクトルの場合、渦なしの条件を満たすものの線積分は、始点と終点だけでその結果が決まり、経路によりません。
バネ.
いう (図 5.1) 。今後、混乱のない場合、ジョルダン閉曲線を単に閉曲線という。 5.2 複素積分 5.2.1 複素積分の定義 複素平面内の曲線に沿った複素関数の積分（複素積分）を定義しよう。 領域 D 内で連続な複素関数 f (z)
仕事は経路によらずmghとなる 経路 A 経路 B 経路 C h m g 重 力 保存力とは： 始点と終点のみで仕事が 決まり，経路によらない力 摩擦力は，経路によって仕事の量が変わる→非保存力 保存力：力学的エネルギ「運動エネルギ+位置エネルギ」が， 保存される 足し合わせる線積分が登場する．これらについて学習しよう． 3.1 線積分 線積分の意味と定義 はじめに2 次元空間での線積分を考える．ある点A(x1,y1) から別な点B(x2,y2) へ，ある曲線経路Cを通って進む．xとy の関数f(x,y)のこの経路に沿っての線積 重力による仕事は経路cに依存せず始点と終点できまる. 熱力学における仕事（しごと、英語: work ）は、対象とする系と外部との間でやりとりされる力学的なエネルギーである。 系と外部との間でやりとりされるエネルギーには、他に熱がある。. 力が一定ならば，仕事は力の変位ベクトル方向成分と変位の積で与えられる と言うこともできる(図)。 式()の右辺において，微小変位 が微小時間 の間に起こったとすると と書くことができるので， 仕事 を以下のように時間積分の形で書くこともできる。
Pdx + Qdy L に沿う線積分 a s b x y t L s L t A B しかも 完全型 の Pdx + Qdy に対して この線積分 F (x;y) = ∫ L Pdx + Qdy は 経路L に依らない. これが保存力による仕事、つまり渦なしのベクトルである保存力の線積分は経路によらないことに対応します。 よって保存力に限らず、3次元ベクトルの場合、渦なしの条件を満たすものの線積分は、始点と終点だけでその結果が決まり、経路によりません。
ということがわかります。 このように仕事が経路によらない力のことを保存力といいます。 例2. 9. スカラーの線積分 曲線Cに沿っての スカラー場 の線積分 ( ), ( ), ( ) b aC x t y t z t dt dt 9.1 スカラーの線積分 ② 曲線Cに対し正反対の向きの曲線-C C C C C 1 2 1 2 dt dt dt CC dt dt- -C 1 C 2 C 1 C 2 C-C
複素積分 77 図 5.2 曲線 C の分割.
経路積分の計算法は形式的手法であって実在を表していないという批判があり (p.127-128)、保江邦夫は経路積分が実在しないし数学的に破綻していると断言している (p.67-69)。 次にバネの問題に適用します。バネの力は自然長を原点におけば なので、軌跡 にそって積分すれば
始点A と終点B のみで決まる. 34 第3講電位 x軸 y軸 z軸 θ ϕ x y z O r ex ey ez er eθ eϕ 図3.1: 3次元極座標と単位ベクトル となる。すなわち，点電荷のつくる電場の線積分は，点電荷のある原点から始点Aまでの距離 r A と終点Bまでの距離r B で決まり，点Aから点Bまでの経路に依らない。線積分の値が
線積分では積分を実行する経路ごとに積分結果が異なるのが一般的である.
積分経路 \(C\) が以下の \(C_1\)、\(C_2\) のそれぞれの場合、次の線積分の値を求めよ。 \[ \int_C (2x + y) dx + (x - y) dy \]
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